| Dataverktyg Online » Matematik » Talföljder | sv en |
En talföljd är en följd av tal. Talen numreras efter den ordning de har i följden, med start från 1.
I en aritmetisk talföljd är differensen mellan två på varandra följande tal alltid lika. 1 4 7 10 13… är ett exempel på en aritmetisk följd som startar med 1 och ökar med 3 för varje steg. För att beskriva den här talföljden kan man använda den linjära formeln an = 3n − 2.
I en geometrisk talföljd är kvoten mellan två på varandra följande tal alltid lika. 2 4 8 16… är ett exempel på en geometrisk följd som startar med 2 och som fördubblas för varje steg. Denna talföljd kan beskrivas med den exponentiella formeln an = 2n.
Om varken kvoten eller differensen mellan talen är konstanta kan det vara en god idé att titta närmare på differensen mellan differenserna. Om det visar sig att differensen mellan differenserna är konstant betyder det att talföljden kan beskrivas med hjälp av ett andragradspolynom. 2 5 10 17 26… är ett exempel på en sådan talföljd. Om vi tittar på differensen mellan de fem inledande talen så är de 3 5 7 9 och som du ser är differensen mellan dessa tal 2. Detta talar om att det är möjligt att beskriva talföljden med ett andragradspolynom men det ger ingen direkt information om hur det ska gå till.
För att ta fram andragradspolynomet kan man notera att formeln kommer att ha följande utseende.
Uppgiften blir då att bestämma konstanterna p, q och r. Genom att sätta in värdet på n och an för några av talen får man fram ett antal ekvationer.
För att lösa ett ekvationssystem med 3 obekanta variabler krävs minst 3 ekvationer. Löser man det linjära ekvationssystemet ovan får man fram att p = 1, q = 0 och r = 1 vilket ger följande formel.
Ibland kan man vara tvungen att använda polynom av högre grad än två men proceduren är i princip den samma. För att kunna använda ett tredjegradspolynom krävs det att differensen mellan differenserna mellan differenserna är konstant. För fjärdegradspolynom krävs ytterligare en nivå av differenser, och så vidare.
Notera att om man bara vet ett begränsat antal tal i talföljden så är det alltid möjligt att hitta ett polynom som passar. Om n tal är kända kan man vara säker på att det finns ett polynom av grad n - 1 som stämmer överens med alla talen, men frågan är hur väl det stämmer för talen som man inte känner till. För att formeln ska beskriva någon slags regelbundenhet i talföljden bör polynomgraden i formeln man får fram vara minst två (helst tre) lägre än antalet tal som man har tillgång till. Detta är något att tänka på när man använder verktyget på den här sidan. Anledningen till att verktyget inte alltid hittar en polynomlösning har att göra med tekniska begränsningar som gör att precisionen blir för dålig för polynom av högre grad.
I tillägg till det som har nämnts tidigare kan verktyget även känna igen primtalsföljden (följden av alla primtal) och Fibonacciföljden (en rekursiv talföljd). Det finns naturligtvis många fler sätt att konstruera talföljder på men de som har nämnts här är de allra vanligaste.